今天要分享的这篇论文是我个人最喜欢的论文之一，它的思想简单、巧妙，而且效果还相当不错。这篇论文借助数学上的 \(L_0\) 范数工具对图像进行平滑，同时保留重要的边缘特征，可以实现类似水彩画的效果（见下图）。
另外这篇论文的作者徐立也是一个相当高产的研究员。
论文的目的
所谓图像平滑，就是突出图像中的低频成分，抑制高频成分，减小突变的梯度。大部分情况下，这么做的目的是为了去除图像中的噪声，因为噪声一般就是一些孤立的像素点，是像素变化比较大的区域。在传统的图像处理中，大部分操作都是用一些具有平滑性质的卷积核对图像进行模糊处理，最常用的如：高斯模糊、均值滤波等等。这些方法都有一个缺陷，就是在模糊噪声的同时，也模糊了边缘。当然之后也有一些改进的方法，如：双边滤波等，这些方法都在边缘保持上进行了很多改进，但多少还是会损失边缘的信息。本文的方法完全不同于以往的这些算法，它从图像梯度的角度出发，在平滑掉大部分细小的噪声的同时，又能最大限度的保持重要的边缘信息。
论文主要思想
一维图像信号
在正式讲思想之前，我们先回忆一下图像平滑的目标是什么。
为了简单起见，我们先从一维出发，把图像当作一维的信号。那么，图像平滑就是要把那些比较小的类似「褶皱」的地方抹平，而把那些大的「褶皱」，或者更准确地说，变化很大的梯度（边缘）保留下来。上面这幅图展示的是不同算法的平滑效果。可以发现，之前的算法在平滑掉那些坑坑洼洼的「褶皱」的同时，也把可能把属于真正边缘的大的梯度给模糊了（细节放大图如下）
为了避免这种问题，论文提出一种基于 \(L_0\) 范数的能量最小化方法。
所谓 \(L_0\) 范数，指的就是向量中非 0 元素的个数。论文中借用这个概念，提出一个图像梯度数量的计算公式： \[ c(f)=\#\{p\ \big |\ |f_p-f_{p+1}|\neq 0 \} \] 公式中，\(f\) 表示我们平滑后的图像，\(\#\) 表示集合中元素 \(p\) 的个数，而 \(p\) 则表示像素位置，因此 \(f_p\) 其实就代表图像 \(f\) 在 \(p\) 这个位置的像素值。
因此这个公式其实就是在计算：满足 \(|f_p-f_{p+1}| \neq 0\) 的像素数量，这个不等式正好就是 \(L_0\) 范数。它的现实意义就是计算图片信号中梯度的数量。
有了这个公式后，论文抛出它最核心的目标函数： \[ \underset{f} {\operatorname {min}} \sum_{p}(f_p-g_p)^2 \ \ \ \ \operatorname{s.t.} \ c(f)=k \] 公式中的 \(g\) 表示原图像，\(f\) 表示平滑后的图像，\(c(f)\) 就是上面提到的计算梯度数量的公式，它表示 \(f\) 中的梯度数量应该为 \(k\) 个。
这个公式表示的是图像 \(f\) 中每个像素 \(f_p\) 和原图 \(g\) 中每个像素 \(g_p\) 之间的平方差之和。
最小化这个目标函数，其实就是要最小化 \(f\) 和 \(g\) 之间的像素差。如果没有 \(c(f)\) 这个限制，那么最终的优化结果就是 \(f=g\)。但加上 \(c(f)\) 限制后，这个目标函数在尽可能减少两个信号之间的能量差的同时，又要让 \(f\) 中的梯度数量满足 \(k\) 个。换句话说，它要尽可能让 \(f\) 和 \(g\) 相似，同时又抹平 \(f\) 中的梯度。因此，最后的优化结果只能是保留住 \(f\) 中那些梯度比较大的边缘，而平滑掉那些梯度比较小的「褶皱」。
\(c(f)\) 这个限制最大的作用就是防止 \(f\) 出现对边缘的模糊。如果仔细观察上面那张边缘模糊的细节图，你就会发现，造成模糊的原因是我们把原来很「抖」的梯度变「缓」了，而缓的梯度其实是由很多小梯度组成的。\(c(f)\) 的限制正是为了减少这种梯度的数量。因此，为了满足 \(c(f)\)，目标函数会让 \(f\) 中的梯度倾向于更「抖」。
在最小化能量差和减少梯度数量这两个约束的共同博弈下，最终得到了下面的这种很平滑、同时边缘很尖锐的结果：
这种相互制约的想法实在是简单而又精彩！
不过，实际应用中存在一个问题，就是 \(k\) 的变化范围很大，是很难选择的。为了控制 \(k\) 的选择范围，论文把 \(c(f)=k\) 这个约束也加入到目标函数中： \[ \underset{f}{\operatorname{min}} \{ \sum_p{(f_p-g_p)^2+\lambda c(f)} \} \] 现在 \(\lambda\) 代替 \(k\) 作为可以调节的参数。\(\lambda\) 越大，目标函数对 \(c(f)\) 的抑制就越大，梯度数量就越少（即边缘越少），反之，梯度数量越大。
二维图像信号
一维信号的约束可以很容易引申到二维信号： \[ C(S)=\#\{p\ \big | \ |\partial_x S_p|+|\partial_y S_p| \neq 0 \} \] \(S\) 类似上面提到的 \(f\)，在这里它表示处理后的二维图像，\(\partial_x S_p\) 和 \(\partial_y S_p\) 分别代表在 \(x\) 方向和 \(y\) 方向计算 \(L_0\) 范数。
然后，我们可以用同样的方法得到目标函数： \[ \underset{S}{\operatorname{min}} \{ \sum_p{(S_p-I_p)^2+\lambda C(S)} \} \] 公式中 \(I\) 表示原图，其他的类比一维信号的公式。
###优化方法
希望有生之年看懂补上。。。
实验结果
上图（e）是论文的方法和其他图像平滑方法的对比，可以看出，这种基于 \(L_0\) 平滑的方法不仅平滑的效果好，而且几乎是原封不动地保留了色块之间的边缘信息。而其他方法在色块（尤其是红色）上的平滑力度不如 \(L_0\) 平滑，且边缘也模糊了不少。
另外，论文的平滑方法在边缘提取上效果也相当的好，下图中，左边（e）是直接对原图用 Canny 提取边缘的结果，右边是先用 \(L_0\) smoothing 进行平滑，再提取边缘的结果，可以看到，平滑后提取的边缘中抹去了很多不重要的细节，而主要的边缘信息都被提取出来。
除此之外，另一个很重要的用途是图像失量化。图像失量化要求图像中的色块数量尽可能少，而这一点正中 \(L_0\) smoothing 下怀。下图中的输入图像具有很多噪声细节，而这些细节用一般的平滑方向是很难根除的，但 \(L_0\) smoothing 由于限制了梯度数量，因此可以产生很「光滑」的色块区域，非常利于失量化操作。
