在讨论最大似然估计之前，我们先来解决这样一个问题：有一枚不规则的硬币，要计算出它正面朝上的概率。为此，我们做了 10 次实验，得到这样的结果：[1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]（1 代表正面朝上，0 代表反面朝上）。现在，要根据实验得到的结果来估计正面朝上的概率，即模型的参数 \(p\)（\(0 \le p \le 1\)）。
当然，对于投硬币这种问题，由于模型很简单，我们可以用大量实验来近似最终结果，不过，如果事件模型复杂一些，做大量的实验就显得不太现实。这个时候，用最大似然估计的思想，则可以通过较少的实验得出一个相对好的结果。本文就从这个简单的例子出发，对最大似然估计做一次简单的描述。
基本思想
似然（likelihood），就是可能性的意思。所谓最大似然估计，顾名思义，就是根据最大的可能性对参数进行估计。那么什么是最大的可能性呢？对于上面那个投硬币的例子，扔 10 次硬币最可能出现的结果会是什么？最大似然估计认为，最可能出现的结果就是：[1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]。有人可能会纳闷，这不就是我们实验的结果吗？不错，最大似然估计有点类似于人类「先入为主」的思维。投 10 次硬币可能出现的情况有那么多，为什么偏偏我们的实验结果就是这样的呢？这是否意味着，这个结果出现的概率是最大的？
再举个例子（该例子改编自文末链接）：两位猎人 A 和 B 一起外出打猎，一只野兔从两人面前窜过，两人同时开枪，结果 A 猎人射杀了野兔。如果要推测谁的枪法准，你是不是会「先入为主」地认为 A 猎人的枪法好？因为射杀兔子的可能情况有那么多种（可能是 B 射杀，也可能是 A、B 同时射杀），但偏偏发生的却是 A 射杀了兔子，那我们当然会倾向于认为 A 的枪法好一些。这种「先入为主」的思想，其实就是最大似然法的思想。简单地说，就是按照最可能的情况来评估事件。当然，这种思想多少存在误判的情况（比如，A 这次能射杀兔子纯属偶然），但随着实验次数增多，结果也会更加准确（如果两人多次狩猎，B 偶尔得手，但 A 频频得手，那 A 枪法好的可能性就更大了）。
回到硬币那个例子，同样的道理，我们认为，出现结果 [1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1] 的可能性比其他结果要大。
最大似然估计的求解方法
我们先把实验的结果用数学式子表达出来：\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10}; p)=p(1-p)p\cdots p=p^3(1-p)^7\)。
现在要用最大似然估计的思想求出这里的 \(p\)。前面说过了，\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10}; p)\) 出现的可能性是最大的，也就是说，\(p^3(1-p)^7\) 的值要满足最大。这样一来，问题就简单多了，只要根据函数 \(h(p)=p^3(1-p)^7\) 的单调性，找出使得 \(h(p)\) 的值最大的 \(p\) 即可。为了计算的方便，我们往往会引入对数，即 \(\ln {h(p)}=\ln{p^3(1-p)^7}\)，这个函数单调性和 \(h(p)\) 是一致的，因此只需要求出 \(\ln{h(p)}\) 的最大值即可。最大值一般来说出现在导数为 0 的时候，因此，令 \(\frac{d \ln{h(p)}}{dp}=\frac{3}{p}-\frac{7}{1-p}=0\)，解得 \(p=\frac{3}{10}\)。
换句话说，当 \(p=\frac{3}{10}\) 时，\(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10}; p)\) 出现的可能性最大。因此，我们估计出来的模型参数就是 \(p=\frac{3}{10}\)。这个结果也符合我们的预期（10 次实验中有 3 次正面朝上）。事实上，投硬币这个简单的模型并没法完全体现出最大似然估计的威力，而且，可以证明，在这个例子中，用最大似然估计得出来的结果永远都是 \(\frac{x}{n}\) （其中，n 是实验次数，x 是正面朝上的次数）。不过，在其他一些更复杂的模型中，用最大似然法来估计参数，往往是最方便有效的。
下面，我们总结一下最大似然估计的一般步骤（改自文末链接）：
- 写出似然函数；（即上文中的 \(f(x_1, x_2, \cdots , x_{10}; p)\)）
- 对似然函数取对数；（因为似然函数往往是众多概率相乘的形式，对数可以方便运算）
- 求导数，令导数为 0，得到似然方程；
- 解方程，得到参数。
总结
最大似然法是在已知实验结果的基础上，估计模型参数的方法。它的基本思想是，假设实验结果出现的可能性最大，并依此反推出参数。
表述成数学语言如下：
假设我们观察到一些实验结果：\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，要估计出模型参数 \(\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m\)。根据最大似然法，要让似然函数 \(f(x_1, x_2, \dots, x_n; \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m)\) 满足： \[ f(x_1, x_2, \dots, x_n; \hat \theta_1, \hat \theta_2, \dots, \hat \theta_m)\ge f(x_1, x_2, \dots, x_n; \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m) \] 这里的 \(\hat \theta_1, \hat \theta_2, \dots, \hat \theta_m\) 就是使得实验结果出现的可能性最大的参数，也是最大似然法估计出来的参数。