Bag of Feature 是一种图像特征提取方法，它借鉴了文本分类的思路（Bag of Words），从图像抽象出很多具有代表性的「关键词」，形成一个字典，再统计每张图片中出现的「关键词」数量，得到图片的特征向量。
Bag of Words 模型
要了解「Bag of Feature」，首先要知道「Bag of Words」。
「Bag of Words」 是文本分类中一种通俗易懂的策略。一般来讲，如果我们要了解一段文本的主要内容，最行之有效的策略是抓取文本中的关键词，根据关键词出现的频率确定这段文本的中心思想。比如：如果一则新闻中经常出现「iraq」、「terrorists」，那么，我们可以认为这则新闻应该跟伊拉克的恐怖主义有关。而如果一则新闻中出现较多的关键词是「soviet」、「cuba」，我们又可以猜测这则新闻是关于冷战的（见下图）。
这里所说的关键词，就是「Bag of words」中的 words ，它们是区分度较高的单词。根据这些 words ，我们可以很快地识别出文章的内容，并快速地对文章进行分类。
而「Bag of Feature」也是借鉴了这种思路，只不过在图像中，我们抽出的不再是一个个「word」，而是图像的关键特征「Feature」，所以研究人员将它更名为「Bag of Feature」。
Bag of Feature 算法
从上面的讨论中，我们不难发现，「Bag of Feature」的本质是提出一种图像的特征表示方法。
按照「Bag of Feature」算法的思想，首先我们要找到图像中的关键词，而且这些关键词必须具备较高的区分度。实际过程中，通常会采用「SIFT」特征。
有了特征之后，我们会将这些特征通过聚类算法得出很多聚类中心。这些聚类中心通常具有较高的代表性，比如，对于人脸来说，虽然不同人的眼睛、鼻子等特征都不尽相同，但它们往往具有共性，而这些聚类中心就代表了这类共性。我们将这些聚类中心组合在一起，形成一部字典（CodeBook）。
对于图像中的每个「SIFT」特征，我们能够在字典中找到最相似的聚类中心，统计这些聚类中心出现的次数，可以得到一个向量表示（有些文章称之为「直方图」），如本文开篇的图片所示。这些向量就是所谓的「Bag」。这样，对于不同类别的图片，这个向量应该具有较大的区分度，基于此，我们可以训练出一些分类模型（SVM等），并用其对图片进行分类。
Bag of Feature 算法过程
「Bag of Feature」大概分为四步：
- 提取图像特征；
- 对特征进行聚类，得到一部字典（ visual vocabulary ）；
- 根据字典将图片表示成向量（直方图）；
- 训练分类器或者用 KNN 进行检索（这一步严格来讲不属于「Bag of Feature」的范畴）。
下面，我们简单分析一下每一步的实现过程。
提取图像特征
特征必须具有较高的区分度，而且要满足旋转不变性以及尺寸不变性等，因此，我们通常都会采用「SIFT」特征（有时为了降低计算量，也会采用其他特征，如：SURF ）。「SIFT」会从图片上提取出很多特征点，每个特征点都是 128 维的向量，因此，如果图片足够多的话，我们会提取出一个巨大的特征向量库。
训练字典（ visual vocabulary ）
提取完特征后，我们会采用一些聚类算法对这些特征向量进行聚类。最常用的聚类算法是 k-means。至于 k-means 中的 k 如何取，要根据具体情况来确定。另外，由于特征的数量可能非常庞大，这个聚类的过程也会非常漫长。
聚类完成后，我们就得到了这 k 个向量组成的字典，这 k 个向量有一个通用的表达，叫 visual word。
图片直方图表示
上一步训练得到的字典，是为了这一步对图像特征进行量化。对于一幅图像而言，我们可以提取出大量的「SIFT」特征点，但这些特征点仍然属于一种浅层（low level）的表达，缺乏代表性。因此，这一步的目标，是根据字典重新提取图像的高层特征。
具体做法是，对于图像中的每一个「SIFT」特征，都可以在字典中找到一个最相似的 visual word，这样，我们可以统计一个 k 维的直方图，代表该图像的「SIFT」特征在字典中的相似度频率。
例如：对于上图这辆车的图片，我们匹配图片的「SIFT」向量与字典中的 visual word，统计出最相似的向量出现的次数，最后得到这幅图片的直方图向量。
训练分类器
当我们得到每幅图片的直方图向量后，剩下的这一步跟以往的步骤是一样的。无非是根据数据库图片的向量以及图片的标签，训练分类器模型。然后对需要预测的图片，我们仍然按照上述方法，提取「SIFT」特征，再根据字典量化直方图向量，用分类器模型对直方图向量进行分类。当然，也可以直接根据 KNN 算法对直方图向量做相似性判断。
Bag of Feature 在检索中的应用
「Bag of Feature」虽然是针对图像分类提出的算法，但它同样可以用到图像检索中。检索和分类本质上是同样的，但在细节上会有不同，事实上，我更愿意把检索当成一种精细分类，即得到图片的大致分类后，再在这个分类中找出最相似的图片。
「Bag of Feature」在检索中的算法流程和分类几乎完全一样，唯一的区别在于，对于原始的 BOF 特征，也就是直方图向量，我们引入 TF-IDF 权值。
TF-IDF
对 TF-IDF 的了解，我参考了吴军的《数学之美》一书。下面的解释，基本也是 copy 了书上的内容。
TF-IDF 最早是在文献检索领域中被提出的，下面我们就用一个文本检索的例子来了解 TF-IDF。
假设我们要检索关于「原子能的应用」的文章，最简单的做法就是将查询分解为「原子能」、「的」、「应用」，然后统计每篇文章中这三个词出现的频率。比如，如果一篇文章的总词数是 1000 ，其中「原子能」、「的」、「应用」分别出现了 2 次、35 次和 5 次，那么它们的词频就分别是 0.002、0.035、0.005。将这三个数相加，总和 0.042 就是该文章关于「原子能的应用」的「词频」。一般来说，词频越高，文章的相关性就越强。TF-IDF 中的 TF 也就是词频（Term Frequency）的意思。
但这种方法有一个明显的漏洞，就是一些跟主题不相关的词可能占据较大的比重。比如上面例子中的「的」一词，占据了总词频的 80% 以上，而这个词对主题的检索几乎没有作用。这种词我们称为「停止词（Stop Word）」，表明在度量相关性时不考虑它们的频率。忽略「的」之后，我们的词频变为 0.007，其中「原子能」贡献了 0.002，「应用」贡献了 0.007。
除此以外，这个优化后的结果还存在另一点不足。在汉语中，「应用」是个很通用的词，「原子能」是专业性很强的词，而后者对主题的检索比前者作用更大。
综合以上两点不足，我们需要对每一个词给一个权重。而且这个权重必须满足以下两个条件：
- 一个词对主题预测能力越强，权重越大；
- 停止词权重为 0；
观察一下我们就会发现，如果一个关键词只在很少的文章中出现，通过它就容易锁定搜索目标，它的权重就应该更大。反之，如果一个词在大量文章中频繁出现，看到它仍然不清楚要找什么内容，它的权重就应该小。
概括地讲，假定一个关键词 \(w\) 在 \(D_w\) 篇文章中出现过，那么 \(D_w\) 越大，\(w\) 的权重越小，反之亦然。在信息检索中，使用最多的权重是「逆文本频率指数」，也就是 TF-IDF 中的 IDF（Inverse Document Frequency）。它的公式为 \(log(\frac{D}{D_w})\)，其中，\(D\) 是全部文章数。假定文章总数是 \(D=10\) 亿，停止词「的」在所有网页中都出现过，即 \(D_w=10\)亿，那么 它的 IDF = log(10亿 / 10亿) = log(1) = 0。假如「原子能」在 200万 篇文章中出现过，即 \(D_w=200\)万，那么它的 IDF = log(500) = 8.96。又假定通用词「应用」出现在 5亿 篇文章中，它的权重 IDF = log(2) = 1。
利用 IDF，我们得到一个更加合理的相关性计算公式： \[ TF_1 * IDF_1+TF_2 * IDF_2+...+TF_N * IDF_N \]
加权 BOF
TF-IDF 是通过增加权重的方法，凸显出重要的关键信息。同样的，在图像检索中，为了更精确地度量相似性，我们也在原来直方图向量的基础上，为向量的每一项增加权重。
具体的，按照上面信息检索的方法，我们需要给字典里的每个向量（visual word）设置权重。权重的计算方法如出一辙：IDF = \(log(\frac{N}{f_j})\)，其中，\(N\) 是图片总数，\(f_j\) 表示字典向量 j 在 多少张图片上出现过。仿照上面的例子，我们可以这样理解：假设我们要检索汽车图片，而汽车一般是放在地面上的，也就是说，在众多类似图片中，地面对应的 visual word 应该会经常出现，而这种特征对于我们检索汽车而言是没有帮助的，所以，用 IDF 公式，我们可以把这个权重减小到忽略不计的地步，这样就把汽车本身的特征凸显出来。
假设我们按照前面 BOF 算法的过程已经得到一张图片的直方图向量 \(\mathbf h = {h_j} (j = 0, 1, …, k)\)，那么，加权 BOF 的计算公式为：\(h_j = (h_j / \sum_{i}{h_i}) log(\frac{N}{f_j})\)。公式右边后一部分就是上面所讲到的 IDF，而 \((h_j / \sum_{i}{h_i})\) 就是词频 TF。
相似性度量方法
前面对 TF-IDF 的介绍，我们得到一个相对完善的向量表示方法。最后，再简单提一下如何根据这个向量确定图片之间的相似度。
关于向量相似度测量的方法有很多，最常见的是计算向量之间的欧几里得距离或者曼哈顿距离等。但在图像检索中，我们采用向量之间的夹角作为相似性度量方法。因为我们得到的向量是各个 visual word 综合作用的结果，对于同一类图片，它们可能受几个相同的 visual word 的影响较大，这样它们的特征向量大体上都会指向一个方向。而夹角越小的，证明向量之间应该越相似。
计算向量夹角的方法非常简单，可以直接采用余弦定理： \[ s(\mathbf h, \overline{ \mathbf h}) =\frac{ <\mathbf h, \overline{\mathbf h}> }{ ||\mathbf h||\ ||\overline{\mathbf h}||} \] 等式右边，分子表示向量内积，分母是向量模的乘积。
由于向量中的每一个变量都是正数，因此余弦值的取值在 0 和 1 之间。如果余弦值为 0，证明向量夹角为 90 度，则这两个向量的相关性很低，图片基本不相似。如果余弦值靠近 1，证明两个向量的夹角靠近 0 度，则两个向量的相关性很高，图片很相似。
更多关于向量相似性度量的方法，请参考其他文章。吴军老师的《数学之美》中也有更加详细的介绍。
Bag of Feature 的缺点
Bag of Feature 在提取特征时不需要相关的 label 进行学习，因此是一种弱监督的学习方法。当然，没有什么方法会是十全十美的，Bag of Feature 也存在一个明显的不足，那就是它完全没有考虑到特征之间的位置关系，而位置信息对于人理解图片来说，作用是很明显的。有不少学者也提出了针对该缺点的改进，关于改进的方法，这里就不再介绍了。