概念
协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 这个解释摘自维基百科，看起来很是抽象，不好理解。其实简单来讲，协方差就是衡量两个变量相关性的变量。当协方差为正时，两个变量呈正相关关系（同增同减）；当协方差为负时，两个变量呈负相关关系（一增一减）。 而协方差矩阵，只是将所有变量的协方差关系用矩阵的形式表现出来而已。通过矩阵这一工具，可以更方便地进行数学运算。
数学定义
回想概率统计里面关于方差的数学定义： \[ Var(X)=\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline x)(x_i-\overline x)}}{n-1} \] 协方差的数学定义异曲同工： \[ Cov(X,Y)=\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)}}{n-1} \] 这里的 \(X\)，\(Y\) 表示两个变量空间。用机器学习的话讲，就是样本有 \(x\) 和 \(y\) 两种特征，而 \(X\) 就是包含所有样本的 \(x\) 特征的集合，\(Y\) 就是包含所有样本的 \(y\) 特征的集合。
协方差矩阵
两个变量的协方差矩阵
有了上面的数学定义后，我们可以来讨论协方差矩阵了。当然，协方差本身就能够处理二维问题，两个变量的协方差矩阵并没有实际意义，不过为了方便后面多维的推广，我们还是从二维开始。
用一个例子来解释会更加形象。
假设我们有 4 个样本，每个样本都有两个变量，也就是两个特征，它们表示如下： \(x_1=(1,2)\)，\(x_2=(3,6)\)，\(x_3=(4,2)\)，\(x_4=(5,2)\)
用一个矩阵表示为：
\[ Z=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \\ 4 & 2 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \]
现在，我们用两个变量空间 \(X\)，\(Y\) 来表示这两个特征：
\[ X=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}, \ \ \ Y=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \] 由于协方差反应的是两个变量之间的相关性，因此，协方差矩阵表示的是所有变量之间两两相关的关系，具体来讲，一个包含两个特征的矩阵，其协方差矩阵应该有 \(2 \times 2\) 大小：
\[ Cov(Z)=\begin{bmatrix} Cov(X,X) & Cov(X,Y) \\ Cov(Y,X) & Cov(Y,Y) \end{bmatrix} \] 接下来，就来逐一计算 \(Cov(Z)\) 的值。 首先，我们需要先计算出 \(X\)，\(Y\) 两个特征空间的平均值：\(\overline x=3.25\)，\(\overline y=3\)。 然后，根据协方差的数学定义，计算协方差矩阵的每个元素：
\(Cov(X,X)=\frac{(1-3.25)^2+(3-3.25)^2+(4-3.25)^2+(5-3.25)^2}{4-1}=2.9167\)
\(Cov(X,Y)=\frac{(1-3.25)(2-3)+(3-3.25)(6-3)+(4-3.25)(2-3)+(5-3.25)(2-3)}{4-1}=-0.3333\)
\(Cov(Y,X)=\frac{(2-3)(1-3.25)+(6-3)(3-3.25)+(2-3)(4-3.25)+(2-3)(5-3.25)}{4-1}=-0.3333\)
\(Cov(Y,Y)=\frac{(2-3)^2+(6-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2}{4-1}=4\)
所以协方差矩阵 \(Cov(Z)=\begin{bmatrix} 2.9167 & -0.3333 \\ -0.3333 & 4.000 \end{bmatrix}\)
好了，虽然这只是一个二维特征的例子，但我们已经可以从中总结出协方差矩阵 \(\Sigma\) 的「计算套路」：
\(\Sigma_{ij}=\frac{(样本矩阵第i列-第i列均值)^T(样本矩阵第j列-第j列均值)}{样本数-1}\)
这里所说的样本矩阵可以参考上面例子中的 \(Z\)。
多个变量的协方差矩阵
接下来，就用上面推出的计算协方差矩阵的「普世规律」。 假设我们有三个样本： \(x_1=(1,2,3,4)^T\)， \(x_2=(3,4,1,2)^T\)， \(x_3=(2,3,1,4)^T\)。 同理我们将它们表示成样本矩阵：
\(Z=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}\)
按照上面给出的计算套路，我们需要先计算出矩阵每一列的均值，从左到右分别为：2、3、1.67、3.33。 然后按照上面讲到的公式，计算矩阵每个元素的值，对了，四个变量的协方差矩阵，大小为 \(4 \times 4\) ：
\(\Sigma_{11}=\frac{(第1列-第1列的均值)^T*(第1列-第1列的均值)}{样本数-1} \\=\frac{(-1,1,0)^T*(-1,1,0)}{2}=1\)
（后面的依此类推……）
独立变量的协方差
以上的讨论都是针对一般情况进行计算的，毕竟变量互相独立的情况较少。
不过，如果两个变量 \(X\), \(Y\) 独立，那么它们的协方差 \(Cov(X,Y) = 0\)。简要证明如下（简单起见，假设变量是离散的）：
由于 \(X, Y\) 独立，所以它们的概率密度函数满足：\(p(x,y)=p_x(x)p_y(y)\)。
求出期望： \[ \begin{eqnarray} E(XY) & = &\sum_x \sum_y {x \times y \times p(x,y)} \notag \\ & = &\sum_x \sum_y x \times y \times p_x(x) \times p_y(y) \notag \\ & = &\sum_x{x \times p_x(x)}\sum_y{y \times p_y(y)} \notag \\ & = &E(X)E(Y) \notag \end{eqnarray} \] 利用协方差的另一个公式：\(Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)\)，可以推出，当 \(X, Y\) 相互独立时，\(Cov(X, Y)=0\)。
这时，协方差矩阵就变成一个对角矩阵了： \[ Cov(Z)=\begin{bmatrix} Cov(X,X) & 0\\ 0 & Cov(Y,Y) \end{bmatrix} \]
协方差矩阵的作用
虽然我们已经知道协方差矩阵的计算方法了，但还有一个更重要的问题：协方差矩阵有什么作用？作为一种数学工具，协方差矩阵经常被用来计算特征之间的某种联系。在机器学习的论文中，协方差矩阵的出现概率还是很高的，用于降维的主成分分析法（PCA）就用到了协方差矩阵。另外，由于协方差矩阵是一个对称矩阵，因此它包含了很多很有用的性质，这也导致它受青睐的程度较高。